Шнурки Гаусса
Приветствуем вас на сайте команды "Шнурки Гаусса"!
Дроби древнего мира
Древний Египет
Происхождение аликвотных дробей.
Что же вообще такое - аликвотные дроби? Если говорить примитивным и доступным языком, то аликвотные дроби - это дроби числитель которых равен единице.
Откуда же они появились? Ранее аликвотные дроби называли «египетскими», а некоторые до сих пор пользуются этим понятием. Почему же так? Всё дело в их происхождении. Впервые аликвотные (египетские) дроби были использованы именно в Египте, где и были изобретены. Одни из самых древних текстов, в которых упоминается об аликвотных дробях - это Математический папирус Ринда, Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода. В данный текст была включена таблица египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Со временем многие математики стали замечать недостатки в использовании аликвотных дробей, например, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой. Тем не менее такие дроби продолжали использоваться в древней Греции, а также и математиками всего мира до средних веков.
Важной работой по исследованию египетских дробей является «Liber Abaci» - это труд математика XIII века Фибоначчи. Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.
В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.
Откуда же они появились? Ранее аликвотные дроби называли «египетскими», а некоторые до сих пор пользуются этим понятием. Почему же так? Всё дело в их происхождении. Впервые аликвотные (египетские) дроби были использованы именно в Египте, где и были изобретены. Одни из самых древних текстов, в которых упоминается об аликвотных дробях - это Математический папирус Ринда, Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода. В данный текст была включена таблица египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Со временем многие математики стали замечать недостатки в использовании аликвотных дробей, например, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой. Тем не менее такие дроби продолжали использоваться в древней Греции, а также и математиками всего мира до средних веков.
Важной работой по исследованию египетских дробей является «Liber Abaci» - это труд математика XIII века Фибоначчи. Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.
В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.
Алгоритм разложения дробей на аликвотные:
1) Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на сумму двух простых делителей знаменателя этой дроби.
2) Запишем числитель полученной дроби в виде суммы двух дробей с одним знаменателем, но числитель одной из которых будет равен знаменателю исходной дроби.
3) Сокращаем.
4) Если числители всех полученных дробей всё ещё не равны единице, повторяем все действия с первого пункта.
2) Запишем числитель полученной дроби в виде суммы двух дробей с одним знаменателем, но числитель одной из которых будет равен знаменателю исходной дроби.
3) Сокращаем.
4) Если числители всех полученных дробей всё ещё не равны единице, повторяем все действия с первого пункта.
Древний Вавилон
Шестидесятеричная система счисления
Шестидесятеричная система - это позиционная (а это значит, что каждая цифра в записи зависит от позиции относительно десятичного разделителя) система счисления по целочисленному основанию 60.
Немного о том как устроена эта система счисления:
-основания этой системы делятся на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Так же, шестидесятеричная имеет свою структуру числа. Например, первый шестидесятеричный знак после запятой называется «минута», второй - «секунда».
К истории шестидесятеричной системы счисления есть много различных гипотез. Мы провели анализ двух самых популярных и хотим немного о них рассказать.
Первая гипотеза О.Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель и мина. Между ними даже было установлено соответствие: одна мина равнялась шестидесяти шекелям. Это деление стало привычным, оттого данная система была использована и для любых других чисел.
Вторая же гипотеза меньше по содержанию, однако, как мы считаем, является наиболее логичной и правдоподобной.
И.Н. Веселовский, в свою очередь, оспорил точку зрения Нейгебауэра, заявив что шестидесятеричная система существовала у шумеров задолго до аккадского завоевания. Веселовский выдвинул гипотизу, что шестидесятеричная система связана с двенадцатеричной системой счисления и счётом на пальцах. В данной гипотезе указывается на то, что шестьдесят изначально было взято как произведение пяти и двенадцати (5 является числом пальцев на руке, что упрощало счёт).
Нам кажется, что гипотеза Веселовского значительно проще в понимании, потому что она никак не связана с историческими событиями, происходящими в то время.
Немного о том как устроена эта система счисления:
-основания этой системы делятся на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Так же, шестидесятеричная имеет свою структуру числа. Например, первый шестидесятеричный знак после запятой называется «минута», второй - «секунда».
К истории шестидесятеричной системы счисления есть много различных гипотез. Мы провели анализ двух самых популярных и хотим немного о них рассказать.
Первая гипотеза О.Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель и мина. Между ними даже было установлено соответствие: одна мина равнялась шестидесяти шекелям. Это деление стало привычным, оттого данная система была использована и для любых других чисел.
Вторая же гипотеза меньше по содержанию, однако, как мы считаем, является наиболее логичной и правдоподобной.
И.Н. Веселовский, в свою очередь, оспорил точку зрения Нейгебауэра, заявив что шестидесятеричная система существовала у шумеров задолго до аккадского завоевания. Веселовский выдвинул гипотизу, что шестидесятеричная система связана с двенадцатеричной системой счисления и счётом на пальцах. В данной гипотезе указывается на то, что шестьдесят изначально было взято как произведение пяти и двенадцати (5 является числом пальцев на руке, что упрощало счёт).
Нам кажется, что гипотеза Веселовского значительно проще в понимании, потому что она никак не связана с историческими событиями, происходящими в то время.
Математические клинописные таблички
На данный момент миру известно о существовании более двух сотен клинописных табличек, содержащих по большей части различные математические текста. Их возраст и предназначение определить сложно, однако известно, что некоторые из них определённо использовались в учебных целях, что понятно из обращений в повелительном тоне на некоторых из них, вроде "прибавь" или "отними". Так же многие из таких табличек могли содержать в себе таблицы умножения и деления.
Древний Рим
Происхождение римской системы дробей
Римская система дробей основывалась на делении единицы веса на 12 частей, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. В то время, обычный житель Рима обозначал свой пройденный путь, например, как расстояние в пять унций, долгая работа в восемь унций (Время работы), написал десять унций в своей новой книге. Предполагалось, что унции рассчитывались за вес. Это можно разобрать с примера, как 5/12 пути, 8/12 часа работы, 10/12 страниц. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, нужно было помнить их таблицы сложения и умножения.
Римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса (1/6 асса) получается семис (1/2 асса) [1/ 3 + 1/6 = 1/2 то есть триенс + секстанс = семис], а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (2/3 унции, то есть 1/8 асса) получается унция (1/12 асса) [ 2/3 * 1/8 = 1/12 то есть бес * сескунцию = унция]. Для облегчения работы с применением дробей были придуманы различные таблицы, которые используются в наше время.
Пример римской системы дробей в современной устной речи
В римской системе (двенадцатеричной) отсутствуют дроби со знаменателями 10,100, из-за этого римлянам зачастую было сложно делить на вышеупомянутые числа. Однажды один из римских математиков столкнулся с проблемой. При делении 1001 асса на 100, он так и не получил целого числа, хотя пытался раздробить число на унции.
Это значительно усложняло счёт, и чтобы впредь не сталкиваться с подобными вычислениями, римляне начали использовать проценты. Они брали с должника лихву (дополнительную сумму денег, помимо той, что уже была дана в долг). При этом римляне говорили «на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы». Слова «на сто» звучали по-латыни «про центум», из-за этого сотую часть стало называть процентом. В наши дни мы также используем данное слово, хотя делания числа на 10,100 и т.д. уже давно не вызывает трудностей.
Так же ныне часто употребляется слово "скрупулёзно", что означает "до мелочей", а происходит оно от названия римской дроби "скрупулус", что равна 1/288 асса.
Это значительно усложняло счёт, и чтобы впредь не сталкиваться с подобными вычислениями, римляне начали использовать проценты. Они брали с должника лихву (дополнительную сумму денег, помимо той, что уже была дана в долг). При этом римляне говорили «на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы». Слова «на сто» звучали по-латыни «про центум», из-за этого сотую часть стало называть процентом. В наши дни мы также используем данное слово, хотя делания числа на 10,100 и т.д. уже давно не вызывает трудностей.
Так же ныне часто употребляется слово "скрупулёзно", что означает "до мелочей", а происходит оно от названия римской дроби "скрупулус", что равна 1/288 асса.
Римская система дробей в системе мер США
США является единственной страной, в которой до сих пор использует римская система дробей в денежной системе и системе мер. Время здесь принято измерять не в двадцати четырёхричной системе измерения, а в двенадцатеричной, а вес и объём в унциях.
Какая же система дробей была наиболее развита?
Мы считаем что римские дроби самые простые, так как двенадцатеричную систему счисления мы используем и по сей день в нашей жизни ( на часах, в астрономии, обозначение месяцев и тд.), что говорит о том, что людям с самого начала возникновения Римской системы было удобно еë использовать, ведь 12 это очень удобное число, с большим количеством делителей (2, 4, 6), поэтому очень легко и удобно находить его доли.
