Шнурки Гаусса
Приветствуем вас на сайте команды "Шнурки Гаусса"!
Система древнерусских дробей
История древнерусских дробей
Впервые на Руси дроби ввёл новгородский монах Кирик, живший в первой половине XII века. В своих трудах он описал систему деления часов на пятые доли. 1/5 была названа "дробным часом", 1/25 названа "вторым дробным часом", а 1/125 "третьем дробным часом" и так вплоть до "седьмых". Позже, в XVI веке, с развитием бухгалтерского дела и изобретением "русских счёт" возникает новая единица измерения - соха, вместе с которой появляется новая система дробей, в основе которой лежали дроби со знаменателями 2 и 3. Уже полноценные, практически не отличимые от современных, цифирные дроби были изложены в 1701 году Леонитием Филипповичем Магницким в его учебнике арифметики в разделе "О числах ломаных и с долями", там же он приводит примеры различных операций с их использованием.
Кирик Новгородец, художественное изображение.
Особенности древнерусского речевого выражения правильных и смешанных дробей в доцифирной арифметике
1/2 называлась полтиной, затем шли треть (1/3) и четь (1/4), последующие дроби получаются путём прибавления приставки "пол".
Также были названия, заканчивающиеся на "-ина" для дробей со знаменателем от 5 до 10: пятина (1/5), седьмина (1/7) и десятина (1/10), но использовались они реже.
А дроби со знаменателем больше 10 именовали с помощью слов "жеребей": 5/17 - пять семнадцатых жеребьев.
Чтобы назвать смешанную дробь, в которой дробная часть будет представлена одной второй, нужно к названию целой части прибавить "пол": полчеть (1/8), пол-полчеть (1/16).
Если же дробная часть была больше одной второй, то говорили "без [недостающая до дробная часть]". А когда дробная часть была меньше одной второй, то её просто добавляли к целой: 5 3/4 - это 6 без чети, а 7 1/3 - семь с третью.
Последний речевой оборот сохранился и сейчас при обозначении времени: 7.55 - "без пяти восемь", 11.50 - "без десяти двенадцать".
Также были названия, заканчивающиеся на "-ина" для дробей со знаменателем от 5 до 10: пятина (1/5), седьмина (1/7) и десятина (1/10), но использовались они реже.
А дроби со знаменателем больше 10 именовали с помощью слов "жеребей": 5/17 - пять семнадцатых жеребьев.
Чтобы назвать смешанную дробь, в которой дробная часть будет представлена одной второй, нужно к названию целой части прибавить "пол": полчеть (1/8), пол-полчеть (1/16).
Если же дробная часть была больше одной второй, то говорили "без [недостающая до дробная часть]". А когда дробная часть была меньше одной второй, то её просто добавляли к целой: 5 3/4 - это 6 без чети, а 7 1/3 - семь с третью.
Последний речевой оборот сохранился и сейчас при обозначении времени: 7.55 - "без пяти восемь", 11.50 - "без десяти двенадцать".
Примеры именования правильных и смешанных дробей в соответствии с древнерусскими правилами
Примеры простых дробей:
полтреть (1/6), пол-полтреть (1/12), пол-пол-полтреть (1/24), или полчеть (1/8), пол-полчеть (1/16), пол-пол-полчеть (1/32).
Примеры дробей со знаменателями от 5 до 10:
1/9 - девятина, 3/7 - три седьмины.
Примеры смешанных дробей с дробной частью, равной одной второй:
полтретьи (2 + 1/2), полпяты (4 + 1/2) и полосьмы (7 + 1/2).
Примеры смешанных дробей с дробной частью больше одной второй:
два без трети (1 + 2/3) или десять без пол-полчети (9 + 15/16).
Примеры смешанных дробей с дробной частью меньше одной второй:
три с четью (3 + 1/4) или пять с полтретью (5 + 1/6).
полтреть (1/6), пол-полтреть (1/12), пол-пол-полтреть (1/24), или полчеть (1/8), пол-полчеть (1/16), пол-пол-полчеть (1/32).
Примеры дробей со знаменателями от 5 до 10:
1/9 - девятина, 3/7 - три седьмины.
Примеры смешанных дробей с дробной частью, равной одной второй:
полтретьи (2 + 1/2), полпяты (4 + 1/2) и полосьмы (7 + 1/2).
Примеры смешанных дробей с дробной частью больше одной второй:
два без трети (1 + 2/3) или десять без пол-полчети (9 + 15/16).
Примеры смешанных дробей с дробной частью меньше одной второй:
три с четью (3 + 1/4) или пять с полтретью (5 + 1/6).
Причины возникновения сошной арифметики
Историческая причина возникновения сошной арифметики - это появление новых земель при объединении земель вокруг Княжества Московского, образовании единого государства. Большому государству приходилось собирать налоги, чтобы содержать и защищать себя. Кроме того, сами земли нужно было перемерить, чтобы обложить податями. Проводилась перепись населения. Само управление земельными ресурсами усложнилось.
Иван III ввел налоговую земельную единицу - "Соху" после 1480 г.
Сошное письмо, изложенного в рукописи "О земном верстании, как землю верстать", помогало при вычислениях земельных вопросов. Это существенно облегчило работу в вычислениях населения и ведении документации.
"Соха" – основная единица обложения XVI—XVII вв. на Руси. В "соху" полагалось определенное количество четвертей земли. Причем, определённая разновидность земель имела свой размер сохи. Соха делится на части по системе трёх и двух. Она равнялась 2 полусохам, 4 четвертям сохи, 8 полчетвертям сохи, 16 пол-полчетвертям и т. д. По системе трех соха делилась на 3 трети, 6 полтретей, 12 пол-полтретей и т. д. Эти дроби и называли сошными.
Также при образовании сошной арифметики появилась распространённая терминология владельческих окладных единиц: выть, третник, четь, осъмак, шестуха, кость, доля, полоса, участок, обжа, вытка, сиг, десятина, сажень, алтын, грош, копейка, деньга, полушка, мортка, двор, дым, пуд, корова и т. д.
Особенности сошной арифметики
"Соха" – основная единица обложения XVI—XVII вв. на Руси. В "соху" полагалось определенное количество четвертей земли. Причем, определённая разновидность земель имела свой размер сохи. Соха делится на части по системе трёх и двух. Основными дробями в этой системе были 1/2, 1/3 и 1/4, остальные же дроби были цепными половинами от 1/3 и 1/4. Она равнялась 2 полусохам, 4 четвертям сохи, 8 полчетвертям сохи, 16 пол-полчетвертям и т. д. По системе трех соха делилась на 3 трети, 6 полтретей, 12 пол-полтретей и т. д. Эти дроби и называли сошными.
Ещё одной интересной особенностью являлась разница между "четвертью" или "четью" как единицы измерения и теми же "четвертью" или "четью" в качестве дроби, а именно, половиной четверти ( как земельной меры) была другая единица измерения - осьмина.
Также при образовании сошной арифметики появилась распространённая терминология владельческих окладных единиц: выть, третник, четь, осъмак, шестуха, кость, доля, полоса, участок, обжа, вытка, сиг, десятина, сажень, алтын, грош, копейка, деньга, полушка, мортка, двор, дым, пуд, корова и т. д.
Широко использовалась формула при расчёте площади круга с окружностью C: S = (C/2)/4, причём "пи" здесь ровняется четырём . Ещё менее совершено было вычисление площади фигуры по её периметру, при котором делалось допущение, что любые плоские фигуры с одинаковым периметром имели одинаковые площади.
Ещё одной интересной особенностью являлась разница между "четвертью" или "четью" как единицы измерения и теми же "четвертью" или "четью" в качестве дроби, а именно, половиной четверти ( как земельной меры) была другая единица измерения - осьмина.
Также при образовании сошной арифметики появилась распространённая терминология владельческих окладных единиц: выть, третник, четь, осъмак, шестуха, кость, доля, полоса, участок, обжа, вытка, сиг, десятина, сажень, алтын, грош, копейка, деньга, полушка, мортка, двор, дым, пуд, корова и т. д.
Широко использовалась формула при расчёте площади круга с окружностью C: S = (C/2)/4, причём "пи" здесь ровняется четырём . Ещё менее совершено было вычисление площади фигуры по её периметру, при котором делалось допущение, что любые плоские фигуры с одинаковым периметром имели одинаковые площади.
Инструменты и приёмы сошной арифметики
Изображение "дощаных счёт"
Главной техникой в сошной арифметике был счёт на "дощаном счёте", представляющим из себя большие деревянные рамы с закреплёнными прутьями или шнурами, на которые нанизаны костяшки.
Так же был распространён "счёт костьми", при котором не было рам, а счётные косточки не были никуда нанизаны, а находились в россыпи.
И.Г. Спасский, изучая древние книги с описанием "дощаного счета", доказал русское происхождение данного счетного устройства.
Во всем мире и сейчас "дощаный счет" и его современный аналог называют "Русскими счетами".
Так же был распространён "счёт костьми", при котором не было рам, а счётные косточки не были никуда нанизаны, а находились в россыпи.
И.Г. Спасский, изучая древние книги с описанием "дощаного счета", доказал русское происхождение данного счетного устройства.
Во всем мире и сейчас "дощаный счет" и его современный аналог называют "Русскими счетами".
Причины перехода к цифирному представлению дробей
На Руси стала развиваться торговля, товарообмен, сельское хозяйство, увеличивался объем пахотных земель, размер податей. Объемы расчетов увеличиваются, используются крупные числа и дроби.
Неполноценность системы дробей того времени была крайне заметна даже в повседневной жизни. В первую очередь, проблемы возникали при делении с остатком, так же трудности были и с извлечение квадратного корня, где были нужны дроби со знаменателем 10, так как на Руси внедряется позиционная десятичная система счисления. С дробями, имеющими цифирное представление было значительно проще проводить различные операции: суммирование, вычитание, умножение, деление и т.д. Кроме дощатого счета велись расчеты на бумаге, бересте. Унарный счет зарубками на "носу" (полене) стал использоваться реже.
Неполноценность системы дробей того времени была крайне заметна даже в повседневной жизни. В первую очередь, проблемы возникали при делении с остатком, так же трудности были и с извлечение квадратного корня, где были нужны дроби со знаменателем 10, так как на Руси внедряется позиционная десятичная система счисления. С дробями, имеющими цифирное представление было значительно проще проводить различные операции: суммирование, вычитание, умножение, деление и т.д. Кроме дощатого счета велись расчеты на бумаге, бересте. Унарный счет зарубками на "носу" (полене) стал использоваться реже.
Наши древнерусские счёты
Мы изготовили свои "дощаные счёты" , с результатами нашей работы можно ознакомиться по данной ссылке: https://disk.yandex.ru/i/LBzfqJt4JK6SCA
В работе использована схема русских счетов.
В работе использована схема русских счетов.
Чем древнерусские счёты отличаются от современного отечественного аналога?
Первое отличие счётов, которое мы можем увидеть наглядно, заключается в их конструкции.
Древнерусские счеты имеют корпус в виде короба, некоторые предшествующие модели - в виде дощечки или стола, на котором перемещались аналоги костяшек. Современные счеты имеют раму с закрепленными на ней стержни с костяшками.
В современных счетах используется десятичная система, поэтому в каждом ряду 10 костяшек. У древних счетов встречаются в описаниях модели с 9 и 10 костяшками.
На древнерусских счётах помимо таких разрядов как целые ( единицы, десятки, сотни), мы также можем увидеть нижнюю часть с прутьями или шнурами с костяшками для счета третями и четями с их двоичными долями. В первой будут считаться дроби: 1/3, 1/6, 1/12 и 1/24, а во второй: 1/4, 1/8, 1/16 и 1/32. Велся расчет сошными дробями. Для расчетов дробной части часто приводились таблицы, но мы попробовали считать долями, очень интересно! А дроби при вычислениях на современных счётах будут представлены в десятичной системе.
Современный аналог счётов символически делится на две части при помощи укороченного ряда костяшек:, выше них будут единицы, десятки, сотни, тысячи и т.п., а ниже - десятые, сотые, тысячные доли. Так как современные счеты применялись в основном для бухгалтерских расчетов, то многие из них имеют дробную часть до сотых (копеек).
Древнерусские счеты имеют корпус в виде короба, некоторые предшествующие модели - в виде дощечки или стола, на котором перемещались аналоги костяшек. Современные счеты имеют раму с закрепленными на ней стержни с костяшками.
В современных счетах используется десятичная система, поэтому в каждом ряду 10 костяшек. У древних счетов встречаются в описаниях модели с 9 и 10 костяшками.
На древнерусских счётах помимо таких разрядов как целые ( единицы, десятки, сотни), мы также можем увидеть нижнюю часть с прутьями или шнурами с костяшками для счета третями и четями с их двоичными долями. В первой будут считаться дроби: 1/3, 1/6, 1/12 и 1/24, а во второй: 1/4, 1/8, 1/16 и 1/32. Велся расчет сошными дробями. Для расчетов дробной части часто приводились таблицы, но мы попробовали считать долями, очень интересно! А дроби при вычислениях на современных счётах будут представлены в десятичной системе.
Современный аналог счётов символически делится на две части при помощи укороченного ряда костяшек:, выше них будут единицы, десятки, сотни, тысячи и т.п., а ниже - десятые, сотые, тысячные доли. Так как современные счеты применялись в основном для бухгалтерских расчетов, то многие из них имеют дробную часть до сотых (копеек).
Список используемых ресурсов
